建筑结构丨地震力到底是怎么算出来的——单自由度体系的动力时程分析

来源：知乎 ，作者： 猪小宝。

我们上一篇说到（点击这里查看上篇链接），我们小房子的地震力是471千牛。地震来了，就相当于有一个变形金刚那么大的千斤顶在水平方向推房顶，施加的推力是471千牛。但我们也知道，这只是「相当于」而已。实际地震的时候，并没有变形金刚在推房子，那房子又是怎么倒的呢？地震是如何作用到房子上的呢？

想象这样一个场景，你站在原地不动，另一个人用力推你的肩膀，是不是很容易站不稳呢？再换一个场景，你站在公交车上，公交车突然刹车，你是不是也很容易站不稳呢？这两种情况对你而言，是不是等效的呢？

有人推你，你脚在地面上不动，肩膀被人向后推，所以站不稳。公交车急刹车，脚跟着公交车地面减速，但上半身还维持着之前高速运动的惯性，所以也站不稳，这就是一个「惯性力」的概念。

变形金刚推房子，就类似于别人推你；地震来了，就类似于把房子放在一个巨大的公交车上，然后公交车急刹车。实际上，并没有「力」直接作用到到房子上，而是房子的基础随着地面运动，而上半部分还保持静止，由于惯性就产生了「作用力」。

问题来了，假设你站在公交车上，然后公交车急刹车，你站不稳的程度，或者说，你受到的惯性力的大小跟什么有关呢？事实上，起作用的只有一个指标，就是公交车的加速度。公交车刹车踩的轻柔，减速减的慢，你就不会有太大的感觉；刹车刹的狠，你就会被晃一下；急刹车一脚踩到底，估计你就趴地上了。

加速度的大小如何表示呢？像有些跑车或者性能车上，不光有时速表、转速表，还会有加速度表，实时显示现在车辆的加速度，比如 0.5g，-0.3g 之类的。以重力加速度为单位，数字越大，说明加速度越大，坐在里面的人受到的惯性力也越大，也就是常说的加速时候的「推背」感越强烈，减速时候的惯性力也越大。

地震也是一样，对于我们的小房子，质量一定，刚度一定，影响地震力大小的只有一个因素，就是地面运动的加速度。拿我们的这个小房子来说，重量是2942千牛，乘以0.16，得到的地震力是471千牛。换言之，这其实就相当于地面加速度为 0.16g。

地震中的地面运动加速度，我们可以用仪器实际测量，这些第一手的测量结果，就是我们进行抗震分析的基础。比如下面这些数据就是1995年阪神地震的实测地面加速度，每隔0.02秒测量一次，共测量了2400次，共持续48秒，加速度的单位为 g。

把这些数据表示成图像，横坐标为时间，纵坐标为加速度。

什么意思呢？我们前面的例子里，相当于地面加速度是 0.16g，也就是说，我们近似认为，地震到来的这48秒内，地面加速度一直是 0.16，没有变化。但实际上呢，真实地震加速度的变化非常不规律，其实是上面的这个图形，一会儿是+0.1，一会儿+0.5，一会儿又是0，一会儿又是-0.4，随时间变化非常剧烈。

换言之，我们近似认为一直是 0.16g，其实是过于简化了这个问题。由于地震加速度的来回变化，实际上这是一个复杂的动力学系统。如果我们认为加速度一直是0.16g，那么房顶的位移就是我们之前得到的2.354毫米。但现在看来，加速度并不是恒定的0.16，而是一直在变化，那么我们的房顶位移也就不再是2.354毫米，也是一直在变化。

那么我们已知地面加速度的变化，如何求出相应的房顶位移的变化呢？这个过程就复杂了，有很多种数值计算方法，包括 Central Difference Method、Newmark’s Average Acceleration Method、Newmark’s Linear Acceleration Method 等等。

我们继续我们的小例子，用 Newmark’s Average Acceleration Method 来求解，假设地震就是上面 1995 年的阪神地震。

首先我们得进行相应的单位变换，方便起见，所有的单位都转化为千牛、毫米和秒。

然后就可以欢快的进行数值运算啦。有了Matlab，小伙伴们再也不用担心我的算数了。

计算结果是这样的，下面的蓝色曲线就是我们的地面加速度，红色的就是相应的房顶位移。我们上一篇的例子，如果蓝色曲线是恒等于0.16的水平线，那么红色的曲线就是恒等于2.354的水平线；我们这一篇的例子，蓝色曲线是这样不断变化的，那么红色的曲线也相应不断变化。

房子最大位移是多少呢？红色曲线的最大值是20.469毫米，最小值是-21.667毫米。也就是说，我们的这个小房子，如果是在1995年的阪神大地震中，来回晃动的最大位移将会达到21.7毫米。

问题在于，我们的房子不是在大阪，而是在汶川。别着急，我们可以找到2008年汶川地震的实测记录，然后根据这个地震记录进行计算。步骤完全一样，只是把阪神地震的数据换成汶川地震的数据而已。

事实上，阪神地震比较猛烈但是短暂，汶川地震持续时间非常长，为了方便读图，我只截取了前50秒的地面加速度和房顶位移。整个地震过程中，最大位移为 7.832 毫米。

这个7.832 毫米又有什么用处呢？首先，我们要核对它是不是超过了规范的限值。我们上一篇提到，限值为550分之一，也就是 5.455 毫米。7.832 大于 5.455，也就是说，我们的房子在真实的汶川地震作用下，位移已经超过了最大限值。我们需要重新修改设计，直到满足要求为止。

其次，我们知道刚度的概念，当施加200千牛的水平力的时候，房顶位移为1毫米。那我们现在已经知道最大位移是 7.832 毫米，相当于施加了多少的水平力呢？

很简单，等比例换算一下，这时候相对应的水平力是1566千牛。也就是说，此时我们房子的所有柱子加起来必须要承受1566千牛的作用力。

那问题就来了，我们上一篇得到的结果是471，这一篇的结果是1566，差得也太多了。实际上，我们这里的分析都是基于弹性范围内，但实际上在汶川地震这样的强震下，结构会进入弹塑性状态，也就是说刚度 k 会发生变化。在做好抗震构造措施的前提下，地震力会做一定的延性折减。另外，我们这里只取了一个记录数据，不排除数据本身有误差，实际的工作中，应该选取多个记录来源的多条地震波，逐一分析，然后再综合考虑。

同样的小房子，上一篇我们用的是查表查规范的反应谱法，这一篇我们用的是数值计算的动力时程法。这两者之间有什么联系吗？规范里反应谱的参数又是如何确定的？我们会在后续的内容里继续探讨。

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